જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{27}} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ પરના બિંદુએથી બનાવેલ સ્પર્શક યામાક્ષોને બિંદુ $A$ અને $B$ માં છેદે તથા $O$ એ ઉંગમબિંદુ હોય તો ત્રિકોણ $OAB$ નું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ચો. એકમ માં મેળવો. 

જે વકો $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}$ અને $\frac{x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{d}=1$ એકબીજને $90^{\circ}$ નાં ખૂણે છેદતા હોય, તો નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સત્ય છે ?

ધારોકે ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ પર ના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ પાસે ના સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષને અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ માં મળે છે. ધારોકે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળ $C$ દોરી શકાય છે અને રેખા $x=2 \sqrt{5}$ એ $\alpha^2-\beta^2=........$

જો ઉપવલયના નાભીલંબની લંબાઈ $4\,એકમ$ અને નાભી અને મુખ્યઅક્ષ પરના નજીકના શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac {3}{2}\,એકમ$ હોય તો ઉત્કેન્દ્ર્તા મેળવો. 

ઉપવલય  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પર બે બિંદુઓ  ${\theta _1}\,$ અને ${\theta _2}$  ની જીવા . .  .  બિંદુ આગળ કાટખૂણે  બનાવે છે. (જો ${\text{tan}}\,\,{\theta _{\text{1}}}\,\tan {\theta _2}\,\, = \,\, - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$  )

ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષના અંત્યબિંદુ $A$ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી રેખા તેના સહાયક વૃતને બિંદુ $M$ આગળ સ્પર્શેં છે તો $A, M$ અને ઉગમ બિંદુ $O$ આગળ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ-